高中物理知识库

定义

平均速度是位移与所用时间的比值，v̄ = x / t；平均速率是路程与所用时间的比值，v̄率 = s / t。两者都在描述一段过程的「整体快慢」，而不是某一瞬间的快慢。

物理意义

位移只关心「从哪到哪」，是矢量；路程关心「一共走了多远」，是标量。所以在所用时间相同且参考系相同的条件下，平均速度由起点和终点的位移决定，与中间路径无关；起终点相同但所用时间不同，平均速度通常不同。平均速率则必须把走过的每一段都算上。日常口语里说的「速度」多半指的是平均速率，这正是最容易出错的地方——回到原点的运动最能说明问题：位移为 0，路程不为 0，于是平均速度为 0 而平均速率不为 0。

符号

公式与校验

推导要点

1. 平均速度是「等效」出来的：把整段运动换成一个匀速运动，要求它在相同时间内产生相同的位移，那个匀速运动的速度就是这整段的平均速度。
2. 平均速度由位移和所用时间共同决定；位移与时间均相同时，中间加速、减速或折返的细节不改变平均速度。时间改变则不能据起终点相同断言平均速度相同。
3. 平均速率的定义完全平行，只是把位移换成路程。
4. 回到原点的运动最能说明差别：位移为 0，所以平均速度为 0；路程不为 0，所以平均速率不为 0。

常见错误与实测结果

典型例题

某同学沿周长 400 m 的环形跑道跑完一整圈，用时 80 s。求这段时间内他的平均速度和平均速率。

1. 跑完整整一圈后回到出发点，所以位移 x = 0。
2. 平均速度 v̄ = x / t = 0 / 80 = 0 m/s。
3. 路程等于跑道周长，s = 400 m。
4. 平均速率 = s / t = 400 / 80 = 5 m/s。

答案平均速度 0 m/s；平均速率 5 m/s。

定义

加速度是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，a = Δv / t = (v − v₀) / t。它描述的是速度变化的快慢，不是速度的大小。

物理意义

加速度是高中物理第一个「反直觉」的物理量。速度大不代表加速度大：高速匀速行驶的列车加速度为 0；速度小也不代表加速度小：刚起步的赛车速度只有几米每秒，加速度却极大。更要紧的是符号——加速度为负只说明它与规定的正方向相反，物体可能是在减速，也可能是在负方向加速，必须结合速度的方向一起判断。

符号

公式与校验

推导要点

1. 速度的变化有快有慢。为了让「快慢」可比，取比值：把速度变化量除以所用时间，得到单位时间内的速度变化。
2. Δv = v − v₀ 是矢量差，不是大小相减。直线运动中它自动退化成带正负号的代数差，负号表示方向与正方向相反。
3. 把定义式移项，得到 v = v₀ + at —— 这就是下一节要用的速度公式。

常见错误与实测结果

典型例题

一辆汽车以 20 m/s 的速度行驶，司机看到红灯后开始刹车，经过 3 s 速度降为 8 m/s。求这段时间内汽车的速度变化量和加速度。

1. 取初速度方向为正方向，则 v₀ = 20 m/s，v = 8 m/s，t = 3 s。
2. 速度变化量 Δv = v − v₀ = 8 − 20 = −12 m/s，负号表示速度变化量方向与初速度相反。
3. 加速度 a = Δv / t = −12 / 3 = −4 m/s²，负号表示加速度方向与初速度相反，即汽车在做减速运动。
4. 加速度的大小为 4 m/s²。

答案Δv = −12 m/s；a = −4 m/s²（大小为 4 m/s²，方向与初速度相反）。

定义

v = v₀ + a t。在加速度恒定的直线运动中，末速度等于初速度加上加速度与时间的乘积。

物理意义

这条式子是加速度定义的直接移项，但要真正用好它有一个前提：a 必须在整段时间内保持不变。现实中最常见的不满足情形就是刹车——汽车停住之后就不再运动，而公式不会自动停下来。所以刹车类问题一定要先算「车什么时候停」，再判断所给时间有没有超出这个范围。

符号

公式与校验

推导要点

1. 从加速度定义式出发：a = (v − v₀) / t。
2. 两边同乘 t：a t = v − v₀。
3. 把 v₀ 移到左边：v = v₀ + a t。
4. 整个过程只用了一次移项，所以这条式子的适用范围和加速度定义式完全一样 —— 加速度恒定。

常见错误与实测结果

典型例题

一辆汽车以 20 m/s 匀速行驶，司机发现前方有障碍物后以 4 m/s² 的加速度刹车。求刹车后 3 s 末和 8 s 末汽车的速度。

1. 取初速度方向为正方向，则 v₀ = 20 m/s，a = −4 m/s²。
2. 先判断汽车何时停止：由 v = v₀ + a t 令 v = 0，得 t = v₀ / |a| = 20 / 4 = 5 s。
3. 3 s 末：v = 20 + (−4)×3 = 8 m/s。
4. 8 s 末：8 s 已经超过 5 s，汽车在 5 s 时就已停住，之后保持静止，所以 8 s 末的速度为 0。
5. 如果不管这一层，直接代入会算出 20 + (−4)×8 = −12 m/s —— 这就是典型的刹车陷阱。

答案3 s 末为 8 m/s；8 s 末为 0（汽车在 5 s 时已经停止）。

定义

x = v₀ t + ½ a t²。在匀变速直线运动中，位移等于「按初速度匀速走的部分」加上「因加速而多走（或少走）的部分」。

物理意义

这条式子是把速度—时间图象下方的面积算出来的结果。第一项 v₀t 是图象里那个矩形，第二项 ½at² 是上面那个三角形。理解了这一层，就能自己写出来，不需要死记——也能立刻看出为什么第二项里带一个 ½：三角形面积是底乘高除以二。

符号

公式与校验

推导要点

1. 画出速度—时间图象：初速度 v₀ 是纵轴截距，加速度 a 是斜率，图象是一条直线。
2. 位移等于图象下方与横轴围成的面积。这块面积是一个梯形。
3. 把梯形拆成下面一个矩形和上面一个三角形：矩形面积 = v₀ t。
4. 三角形的高是速度增量 a t，底是 t，所以面积 = ½ · t · (a t) = ½ a t²。
5. 两段相加：x = v₀ t + ½ a t²。

常见错误与实测结果

典型例题

一辆汽车以 2 m/s 的初速度开始匀加速行驶，加速度为 3 m/s²。求它在 4 s 内的位移。

1. 已知 v₀ = 2 m/s，a = 3 m/s²，t = 4 s。
2. 代入位移公式：x = v₀t + ½at²。
3. 先算第一项：v₀t = 2 × 4 = 8 m。
4. 再算第二项：½at² = 0.5 × 3 × 16 = 24 m。
5. 相加得 x = 8 + 24 = 32 m。

答案位移为 32 m。

定义

v² = v₀² + 2 a x。这条式子把初速度、末速度、加速度和位移直接联系起来，中间不出现时间。

物理意义

它的价值在于「消去时间」。凡是题目既不给时间、也不问时间的匀变速问题，用这条式子通常一步到位，而不必绕道先算时间。它的推导方式是把速度公式和位移公式里的 t 消掉——这也是它和另外两条公式必然自洽的原因，校验器正好可以利用这一点做交叉验证。

符号

公式与校验

推导要点

1. 从速度公式出发：v = v₀ + a t，把 t 单独解出来：t = (v − v₀) / a。
2. 代入位移公式 x = v₀ t + ½ a t²。
3. 代入后展开并通分整理，v₀ 的一次项会互相抵消。
4. 两边同乘 2a，得到 2 a x = v² − v₀²，即 v² = v₀² + 2 a x。
5. 因为是用另外两条公式推出来的，所以凡是这三条公式同时适用的问题，它们给出的答案必然一致 —— 校验器就是拿这一点来互相验算的。

常见错误与实测结果

典型例题

一架飞机在跑道上以 2 m/s 的初速度匀加速滑行，加速度为 3 m/s²。求它滑行 32 m 后的速度。

1. 已知 v₀ = 2 m/s，a = 3 m/s²，x = 32 m，题目不给时间也不问时间。
2. 选用不含时间的速度位移关系：v² = v₀² + 2ax。
3. 代入：v² = 2² + 2 × 3 × 32 = 4 + 192 = 196。
4. 开平方得 v = 14 m/s（速度取正，方向与运动方向相同）。

答案滑行 32 m 后的速度为 14 m/s。

定义

匀变速直线运动有三个相关的速度：全程平均速度 v̄ = (v₀ + v) / 2；中间时刻的瞬时速度 v(t/2) = (v₀ + v) / 2，与平均速度相等；中间位置的瞬时速度 v(x/2) = √[(v₀² + v²) / 2]，它总是不小于前两者。

物理意义

这是运动学里最漂亮的一组结论。中间时刻速度恰好等于全程平均速度，意味着求平均速度可以绕开位移和时间，直接用首末速度；而中间位置速度 ≥ 中间时刻速度，则说明「走完一半路程时的速度」总比「用掉一半时间时的速度」来得大——因为匀变速运动在后半程本来就走得更快。三者相等只在匀速运动中成立。

符号

公式与校验

推导要点

1. 先证中间时刻速度等于平均速度：把 t/2 代进速度公式，v(t/2) = v₀ + a·t/2。
2. 把 v = v₀ + a t 代入 (v₀ + v)/2，得 (v₀ + v₀ + a t)/2 = v₀ + a t/2。两者完全相同。
3. 再求中间位置速度：对前半段位移 x/2 用速度位移关系，v(x/2)² = v₀² + 2a·(x/2)。
4. 把全程关系 2ax = v² − v₀² 即 a x = (v² − v₀²)/2 代入，整理得 v(x/2)² = (v₀² + v²)/2。
5. 比较两个平方值：中间位置速度的平方减去中间时刻速度的平方，结果为 (v − v₀)² / 4 ≥ 0。
6. 所以中间位置速度总是不小于中间时刻速度，等号仅在 v = v₀（即匀速）时成立。

常见错误与实测结果

典型例题

一物体做匀加速直线运动，初速度 2 m/s，末速度 14 m/s，全程位移 32 m。求全程平均速度、中间时刻的瞬时速度和中间位置的瞬时速度。

1. 全程平均速度 v̄ = (v₀ + v)/2 = (2 + 14)/2 = 8 m/s。
2. 中间时刻的瞬时速度与平均速度相等，也是 8 m/s。也可以验算：由 v² = v₀² + 2ax 得 a = (196 − 4)/(2×32) = 3 m/s²，全程时间 t = (v − v₀)/a = 4 s，代 t/2 = 2 s 得 v = 2 + 3×2 = 8 m/s。
3. 中间位置的瞬时速度 v(x/2) = √[(v₀² + v²)/2] = √[(4 + 196)/2] = √100 = 10 m/s。
4. 可见 10 m/s 大于 8 m/s，符合「中间位置速度不小于中间时刻速度」的结论。

答案平均速度 8 m/s；中间时刻速度 8 m/s；中间位置速度 10 m/s。

定义

物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动。它是初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动，g 在同一地点为定值，通常取 9.8 m/s²（粗略计算取 10 m/s²）。

物理意义

自由落体是匀变速直线运动最具代表性的实例：只要把 v₀ = 0、a = g 代进前面三条公式，整套运动学结论立刻适用。它同时纠正了「重的物体下落得快」这一流传两千年的错误直觉——决定下落快慢的是 g 而不是质量，这个结论需要用「在没有空气阻力的条件下」来限定，而这个条件恰恰是物理学家伽利略当年最难说服别人的地方。

符号

公式与校验

推导要点

1. 自由落体的定义已经给出了两个条件：初速度 v₀ = 0，加速度 a = g。
2. 把这两个条件代进速度公式 v = v₀ + a t，得 v = g t。
3. 代进位移公式 x = v₀ t + ½ a t²，并把位移记作下落高度 h，得 h = ½ g t²。
4. 代进速度位移关系 v² = v₀² + 2 a x，得 v² = 2 g h。
5. 所以自由落体不需要另记公式 —— 它只是匀变速直线运动的一个特例。

常见错误与实测结果

典型例题

一个物体从高处由静止自由落下，取 g = 9.8 m/s²。求它下落 3 s 末的速度和这 3 s 内下落的高度。

1. 由静止开始，所以初速度 v₀ = 0，加速度 a = g = 9.8 m/s²。
2. 3 s 末的速度：v = g t = 9.8 × 3 = 29.4 m/s。
3. 3 s 内下落的高度：h = ½ g t² = 0.5 × 9.8 × 9 = 44.1 m。
4. 验算：用 v² = 2gh，√(2 × 9.8 × 44.1) = √864.36 = 29.4 m/s，与上面算出的速度一致。

答案3 s 末速度为 29.4 m/s；下落高度为 44.1 m。

定义

小船相对岸的速度是船相对水的速度与水流速度的矢量和。河宽为 d，最短渡河时间为 t_min = d/v_b；最短位移还要考察船速与水速的大小关系。

物理意义

假设河岸平行、水流均匀且船速大小不变。横跨河岸的分运动与沿岸漂移同时发生，不能把两个时间相加。船速大于水速时可完全抵消沿岸漂移；船速小于水速时不能直达对岸，应用速度矢量圆的切线求最小漂移角。相等的临界情形只有位移下确界为河宽，不能有限时间直达。

符号

公式与校验

推导要点

1. 沿岸与垂直河岸取两个坐标轴，先画船速和水速的首尾相接矢量。
2. 要最短时间，令船速全部用于横跨河岸；沿岸仍有水流漂移。
3. 能直达时令船速的上游分量等于水速，剩余横向分量由速度三角形求出。
4. 水速更大时，从速度原点向矢量圆作切线，使相对岸速度与下游方向夹角最大，得到最小位移。

常见错误与实测结果

典型例题

河宽120 m，船相对水速度5 m/s，水流3 m/s。分别求最短渡河时间，以及正对对岸渡河的时间。

1. 最短时间方案船头垂直岸，时间120/5=24 s，落点会顺流漂移。
2. 正对渡河时上游分量为3 m/s，横向速度4 m/s，所以时间120/4=30 s。

答案最短时间24 s；最短位移120 m的方案需30 s。

定义

速度非零时，合加速度在垂直于瞬时速度的方向上具有非零分量，会使速度方向改变并使轨迹局部弯曲。合力具有法向分量，而非要求合力总与速度垂直。

物理意义

速度沿轨迹切线，法向加速度指向轨迹局部凹侧，切向分量改变速率。平抛过程中重力总向下，在最高点速度水平而重力垂直；下落后重力还具有沿速度的切向分量，故速度大小与方向可同时改变。合力仅与速度共线时该瞬间法向分量为零，不能据此断言整个轨迹都是直线；拐点和零速起点需要单独看邻域。下面比较同一平抛的分速度与能量途径。

符号

公式与校验

推导要点

1. 正交合成得速率√(16+9)=5 m/s。
2. 重力的法向分量为10×4/5=8 m/s²，余下切向分量改变速率。
3. 速度沿轨迹切线，法向加速度指向轨迹局部凹侧，切向分量改变速率。

常见错误与实测结果

典型例题

平抛水平分速度4 m/s，某时向下分速度3 m/s，g取10 m/s²，忽略空气阻力，求该时刻速率与法向加速度。

1. 正交合成得速率√(16+9)=5 m/s。
2. 重力的法向分量为10×4/5=8 m/s²，余下切向分量改变速率。

答案速率5 m/s，法向加速度8 m/s²。

定义

发生弹性形变的物体，会对使它形变的物体产生弹力。对弹簧而言，弹力的大小与形变量成正比：F = k x。k 叫劲度系数，单位是 N/m，由弹簧本身决定。

物理意义

胡克定律里最容易踩的坑是 x —— 它是「形变量」，即弹簧被拉伸或被压缩的长度，是变化量而不是弹簧的总长度。弹簧被拉长到什么程度，弹力就对应到那个程度，跟原长无关。另外要注意它的适用范围：形变必须在这个弹簧的弹性限度内，超过之后就拉不回来，也不再成正比。

符号

公式与校验

推导要点

1. 弹簧受拉力 F 时被拉长 x，实验测出两者成正比，比例系数记为 k。
2. 写成等式就是 F = k x。k 越大表示把弹簧拉长同样的长度需要越大的力，即弹簧越硬。
3. 检核量纲：k 的单位是 N/m，与 x 的单位 m 相乘后得到 N，正好是力的单位。

常见错误与实测结果

典型例题

一根原长 10 cm 的弹簧，受到 10 N 的拉力时长度变为 15 cm。求这根弹簧的劲度系数。

1. 形变量是长度变化量，不是总长度：x = 15 cm − 10 cm = 5 cm = 0.05 m。
2. 由胡克定律 F = k x 得 k = F / x。
3. 代入：k = 10 / 0.05 = 200 N/m。

答案劲度系数为 200 N/m。

定义

由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，大小 G = m g，方向竖直向下，作用点叫重心。g 在同一地点对所有物体都相同，通常取 9.8 N/kg，粗略计算取 10 N/kg。

物理意义

注意 g 的两张面孔：作为自由落体的加速度，它的单位写 m/s²；作为重力的比例系数，它的单位写 N/kg。两者数值相同、物理含义相通，但写成 N/kg 更能体现「每千克受到多少牛的力」。重力的大小只与质量和当地 g 有关，与物体的运动状态、是否被其他力支持都无关——一个在空中自由下落的物体和一个静止放在桌上的物体，受的重力一样大。

符号

公式与校验

推导要点

1. 实验证明，在地球表面同一地点，物体受到的重力与它的质量成正比。
2. 把比例系数记为 g，写成等式就是 G = m g。
3. 检核量纲：质量的量纲 M 乘上加速度的量纲 L/T²，得到 M·L/T²，正是力的量纲。
4. 因此 g 既可以看作自由落体的加速度，也可以看作每千克物体受到的重力。

常见错误与实测结果

典型例题

质量2 kg的物体在地球表面g取9.8 N/kg、月球表面g取1.6 N/kg，求它在两处所受的重力。

1. 在地球表面：G = m g = 2 × 9.8 = 19.6 N。
2. 在月球表面：G = m g = 2 × 1.6 = 3.2 N。
3. 两处的质量都是 2 kg，没有变化；变化的是重力加速度，所以重力变成了原来的约六分之一。

答案地球表面 19.6 N；月球表面 3.2 N。

定义

两个相互接触的物体之间有相对运动趋势或相对运动时，接触面上会产生阻碍相对运动的力。滑动的物体受到滑动摩擦力，大小 f = μ F_N，其中 μ 是动摩擦因数，F_N 是接触面间的正压力。

物理意义

这里有一条极其重要的分界线：滑动摩擦力可以用公式 f = μ F_N 直接算，而静摩擦力不能。静摩擦力的大小由平衡条件或牛顿第二定律决定——你用力推但没推动，静摩擦力就等于你的推力；推得越用力，它越大，直到超过最大静摩擦力才被推动。所以「静摩擦力等于 μF_N」是一个用起来很顺、但完全错误的说法，本页专门为它设了一道检查。

符号

公式与校验

推导要点

1. 滑动摩擦力的方向沿接触面，与相对运动方向相反，大小由实验测定。
2. 实验发现它与接触面间的正压力成正比，比例系数记为 μ，于是有 f = μ F_N。
3. μ 是一个纯数（无量纲），只由两个接触面的材料与粗糙程度决定，与接触面积无关。
4. 静摩擦力不走这条路径：物体没动，说明受力平衡，静摩擦力必须等于推它的那个力。
5. 所以解静摩擦类问题时，先判断物体动不动，再选公式 —— 顺序错了就会得到荒谬答案。

常见错误与实测结果

典型例题

质量2 kg的物体原来静止在水平桌面上，动摩擦因数0.3，g=9.8 N/kg。用1 N水平力推时仍静止；再改用10 N水平力且已滑动。分别求两种情况下受到的摩擦力。

1. 竖直方向平衡，F_N=m·g=2×9.8=19.6 N。
2. 第一种情况题干已说明仍静止，水平平衡得到静摩擦力1 N；不能从动摩擦因数直接推出最大静摩擦力。
3. 第二种情况题干已说明滑动，f=μ·F_N=0.3×19.6=5.88 N，方向与相对滑动方向相反。

答案1 N 推力时摩擦力的实际大小是 1 N（静摩擦，物体未动）；10 N 推力时摩擦力是 5.88 N（滑动摩擦）。

定义

求几个力的合力叫力的合成，把合力按某个方向拆成几个分力叫力的分解。正交分解是把一个力拆成互相垂直的两个分量：F_x = F cos θ，F_y = F sin θ；反过来由分量求大小则用 F = √(F_x² + F_y²)。

物理意义

正交分解是高中力学最重要的计算工具，几乎所有复杂受力问题都靠它降维打击——把一个斜着的力换成水平和竖直两个方向上的力，然后每个方向各写一次平衡或牛顿第二定律。两个最容易混淆的点：一是 cos 和 sin 谁配谁（取决于 θ 是从哪个轴量起的）；二是合力不等于两个分力直接相加，因为它们是矢量，要用勾股定理再开方。

符号

公式与校验

推导要点

1. 力是矢量，合成遵守平行四边形定则：以两个分力为邻边作平行四边形，对角线就是合力。
2. 若两个分力互相垂直，平行四边形退化成矩形，对角线的长度由勾股定理给出：F = √(F_x² + F_y²)。
3. 分解是合成的逆运算。把 F 沿互相垂直的两个方向拆分，由直角三角形可读出两直角边。
4. 若 θ 从水平轴量起，则邻边（水平分量）是 F cos θ，对边（竖直分量）是 F sin θ。
5. 检核恒等式：把两个分量平方相加，得 F²(cos²θ + sin²θ) = F²，正好回到 F —— 这说明分解没有丢东西，也没多出来。

常见错误与实测结果

典型例题

一个 10 N 的力与水平方向成 36.87° 角斜向上拉物体。求这个力在水平方向和竖直方向的分力。（已知 cos 36.87° = 0.8，sin 36.87° = 0.6）

1. 把力沿水平方向和竖直方向正交分解。
2. 水平分量：F_x = F cos θ = 10 × 0.8 = 8 N。
3. 竖直分量：F_y = F sin θ = 10 × 0.6 = 6 N。
4. 验算：√(8² + 6²) = √100 = 10 N，与原来的力相等，说明分解没有出错。

答案水平分力 8 N，竖直分力 6 N。

定义

物体加速度的大小与所受合外力成正比、与质量成反比，加速度的方向与合外力方向相同。写成等式即 F_合 = m a，其中 F_合 是物体受到的所有外力的矢量和。

物理意义

这条式子是整个高中力学的枢纽。它有三个必须记牢的限定：第一，F 是合力而不是某一个力，漏掉任何一个力都会算错加速度——这是本知识点专门设了一道检查去抓的错误；第二，a 的方向永远和合力方向一致，与速度方向无关；第三，a 与 F 是瞬时对应的，力一变，加速度立刻跟着变。

符号

公式与校验

推导要点

1. 实验：保持质量不变，改变拉力，测出加速度 —— a 与 F 成正比。
2. 保持拉力不变，改变质量，测出加速度 —— a 与 m 成反比。
3. 两式合并：a ∝ F / m，引入比例系数并取国际单位制，系数为 1，于是 F = m a。
4. 检核量纲：kg × m/s² = M·L/T²，正是力的量纲 N，与左边一致。
5. 反过来 a = F / m：合力方向就是加速度方向，这一点在公式里体现为两者同号。

常见错误与实测结果

典型例题

质量为 2 kg 的物体放在水平面上，用 10 N 的水平拉力拉动，同时受到 4 N 的摩擦力。求物体的加速度。

1. 先明确物体受到的水平方向的两个力：拉力 F_拉 = 10 N 向前，摩擦力 f = 4 N 向后。
2. 求水平方向的合力：F_合 = F_拉 − f = 10 − 4 = 6 N。
3. 由牛顿第二定律 a = F_合 / m = 6 / 2 = 3 m/s²。
4. 方向与合力方向相同，即与拉力方向相同。
5. 常见错误是不减摩擦力，直接用 10 ÷ 2 = 5 m/s² —— 那等于假设物体不受摩擦力。

答案加速度为 3 m/s²，方向与拉力方向相同。

定义

两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。若把 A 对 B 的力记作 F_AB，B 对 A 的力记作 F_BA，则 F_AB = −F_BA。

物理意义

第三定律说的两句话最容易记，也最容易用错。第一条：它和「平衡力」不是一回事——作用力与反作用力分别作用在两个不同的物体上，永远不能相互抵消，能抵消的只有作用在同一物体上的平衡力。第二条：大小相等与运动状态无关——马拉车车也拉马，两者大小永远相等，车能被拉动是因为马受到的来自地面的摩擦力大于车受到的阻力，而不是因为马「拉得比车拉它更用力」。

符号

公式与校验

推导要点

1. 由大量实验总结得出：物体之间的相互作用总是成对出现。
2. 这一对力有四个特征：作用在两个不同物体上；大小相等；方向相反；沿同一条直线。
3. 把两个力沿同一条直线取同向为正方向，则方向相反体现为符号相反，于是 F_AB = −F_BA。
4. 与牛顿第二定律配合使用时的关键区别：作用力与反作用力分别作用在两个物体上，受力分析时不能把它们画在同一个物体上，也不能相互抵消。

常见错误与实测结果

典型例题

甲、乙两人各站在一块滑板上，甲用力推了乙一下，两人都向后运动。已知甲的质量为 60 kg、乙为 40 kg，甲推乙的力为 120 N。求乙受到甲的推力和甲受到乙的推力，并比较两人的加速度大小。

1. 由牛顿第三定律，甲推乙的力与乙推甲的力大小相等、方向相反。
2. 所以甲受到的推力也是 120 N，方向与甲推乙的方向相反。
3. 由 a = F / m，甲的质量大，加速度小：a_甲 = 120 / 60 = 2 m/s²。
4. 乙的质量小，加速度大：a_乙 = 120 / 40 = 3 m/s²。
5. 两人的推力完全相同，加速度不同——差别来自质量，不是来自「谁的力更大」。

答案两者都是 120 N，方向相反；甲加速度 2 m/s²，乙加速度 3 m/s²。

定义

超重与失重描述称重装置的示数相对重力的变化。取竖直向上为正，支持力满足 F_N = m·(g+a)，其中 a 是有正负号的竖直加速度，而不是速度。

物理意义

重力由质量与当地重力加速度决定，并不因电梯上升或下降而自行改变。加速上升、减速下降时加速度向上，视重增大；加速下降、减速上升时加速度向下，视重减小。自由落体时支持力为零但重力仍在；无约束的台秤不能给出负的支持力读数。

符号

公式与校验

推导要点

1. 先画重力和支持力，不把运动方向当作加速度方向。
2. 向上取正，列支持力减重力等于质量乘带符号的加速度。
3. 将四类运动按速度变化判断加速度方向；向下减速也是向上加速度。
4. 代入自由落体加速度为负的重力加速度，支持力恰好为零。

常见错误与实测结果

典型例题

质量50 kg的人在电梯中，重力加速度取10 m/s²。先向上加速2 m/s²，再以相同大小向上减速，求两次示数。

1. 向上加速时支持力为50×(10+2)=600 N。
2. 向上减速时加速度向下，带符号为−2 m/s²，支持力为50×(10−2)=400 N。

答案向上加速时示数600 N，向上减速时示数400 N。

定义

摩擦角描述最大静摩擦下接触合力偏离法线的角，φ = atan(μ)。只受重力且位于固定斜面的物体，斜面倾角不超过摩擦角时可在静摩擦帮助下保持静止。

物理意义

重力沿斜面的分量决定维持静止所需摩擦力，垂直斜面的分量决定支持力；前者不超过最大静摩擦即能静止。这里的自锁条件针对无额外推拉力的重力滑动模型，不表示无论多大或何方向的外力都无法推动物体。施加倾斜外力会同时改变沿面分量和支持力，必须重新作受力分析。

符号

公式与校验

推导要点

1. 画重力、支持力及沿面向上的静摩擦，不把摩擦力自动设为最大值。
2. 沿面静止时静摩擦等于重力沿面分量，支持力由垂直方向平衡给出。
3. 将所需静摩擦不超过最大值的条件除以正支持力，得到斜面倾角不超过摩擦角。
4. 若施加额外外力，重新分解其两个分量；只有新的力与约束关系满足条件，才能继续谈自锁。

常见错误与实测结果

典型例题

质量2 kg物体静置在倾角约36.87°的斜面上，最大静摩擦系数0.75，取重力加速度10 m/s²，判断是否刚好自锁。

1. 重力沿面分量12 N，垂直面分量16 N，维持静止需要12 N静摩擦。
2. 最大静摩擦0.75×16=12 N，恰好等于需要值；斜面角等于摩擦角。

答案恰好处于静止与下滑的临界；静摩擦12 N，支持力16 N。

定义

在惯性参考系中，物体不受力或所受合力为零时保持静止或匀速直线运动。惯性是物体保持原有运动状态的性质，在经典力学中以质量衡量，并不是一种力。

物理意义

伽利略通过减小阻力的实验与理想推理提出运动可以持续，笛卡尔强调直线运动，牛顿形成第一定律。力改变速度而非维持速度，合力零不等于每个力都为零。静止和匀速直线运动取决于初始状态，第一定律还给出惯性参考系概念，不能说它只是第二定律令合力为零的代数特例。以下平衡与速度读数用于量化例子，不宣称靠两次测量证明定律。

符号

公式与校验

推导要点

1. 合力20-20=0 N，加速度为零。
2. 初速度并非零，因此保持向右3 m/s，不会自动停止。
3. 伽利略通过减小阻力的实验与理想推理提出运动可以持续，笛卡尔强调直线运动，牛顿形成第一定律。

常见错误与实测结果

典型例题

4 kg物体原来向右3 m/s，向右20 N与向左20 N平衡，在惯性系中2 s后速度如何？

1. 合力20-20=0 N，加速度为零。
2. 初速度并非零，因此保持向右3 m/s，不会自动停止。

答案仍以3 m/s向右作匀速直线运动。

定义

理想实验在可检验事实基础上，逐步排除次要因素并逻辑推演理想极限。伽利略斜面思想通过减小阻力、比较上升高度，推及无阻力水平运动可以持续。

物理意义

小球沿一个斜面下滑后沿另一个斜面上升，实际阻力导致回升高度略低；减小阻力使回升高度接近原高度。理想无阻力模型中回到原高度，第二斜面倾角越小需走越长距离；推至水平时无法靠升高达到该高度，运动会持续。这不是实际造出完全无阻力装置，也不能把有限观测直接当作无限时间证据。下面以能量损失账目解释高度差，逻辑推理本身仍需审查前提。

符号

公式与校验

推导要点

1. 初势能10 J，有损失后剩8 J，对应0.4 m。
2. 无损失时保留10 J，回到0.5 m；改变斜面角度不改变理想回升高度。
3. 小球沿一个斜面下滑后沿另一个斜面上升，实际阻力导致回升高度略低；减小阻力使回升高度接近原高度。

常见错误与实测结果

典型例题

2 kg球从0.5 m高度静止出发，回升前损失2 J，忽略转动，g取10；比较有损失和无损失高度。

1. 初势能10 J，有损失后剩8 J，对应0.4 m。
2. 无损失时保留10 J，回到0.5 m；改变斜面角度不改变理想回升高度。

答案有损失0.4 m，理想无损失0.5 m。

定义

物体在力的作用下沿某方向发生位移，力对物体做功。恒力 F 与位移 s 的夹角为 θ 时，功 W = F s cos(θ)。功是标量，但有正负：锐角时做正功，钝角时做负功，垂直时不做功。

物理意义

功的正负不表示功有方向，而表示这个力对动能变化的作用。正功倾向于增加动能，负功倾向于减少动能。多个力同时作用时，应先分别计算各力的功再代数相加；也可以先求恒定合力，再计算合力的功。

符号

公式与校验

推导要点

1. 先取力在位移方向上的分量 F cos(θ)，只有这一分量产生沿位移方向的能量转移。
2. 用沿位移方向的分力乘位移，得到 W = F s cos(θ)。N·m 与 J 等价。
3. 若有多个力，功是标量，各力的功按正负号作代数相加，得到总功。

常见错误与实测结果

典型例题

用 10 N 的恒力斜向上拉箱子，力与水平位移的夹角满足 cos(θ)=0.8，箱子水平移动 5 m；同时阻力做功 −20 J。求拉力做功和总功。

1. 拉力做功 W₁ = F s cos(θ) = 10 × 5 × 0.8 = 40 J。
2. 阻力的功已经是带符号的 −20 J。
3. 总功 W_总 = 40 + (−20) = 20 J。

答案拉力做功 40 J，总功 20 J。

定义

功率描述做功的快慢。平均功率等于一段时间内所做的功与时间之比 P = W/t；恒力作用下，某一瞬间的功率为 P = F v cos(θ)。功率的单位是瓦特，1 W = 1 J/s。

物理意义

功相同不代表功率相同，完成得越快，平均功率越大。发动机的额定功率是正常工作时允许长期输出的功率，不等于任何时刻都必然达到的实际功率。由 P = Fv 可知，在功率受限时，牵引力和速度不能同时任意增大。

符号

公式与校验

推导要点

1. 平均功率由定义直接得到：用完成的功 W 除以所用时间 t。
2. 很短时间内位移可写成 s = vt，代入 W = Fs cos(θ)。
3. 再除以时间 t，得到瞬时关系 P = Fv cos(θ)。

常见错误与实测结果

典型例题

起重机在 20 s 内做功 6000 J，求平均功率。若某时刻钢索拉力为 2000 N、重物速度为 0.5 m/s且同向，求该时刻功率。

1. 平均功率 P = W/t = 6000/20 = 300 W。
2. 钢索拉力与速度同向，cos(θ)=1。
3. 瞬时功率 P = Fv = 2000 × 0.5 = 1000 W。

答案平均功率 300 W，所述时刻的瞬时功率 1000 W。

定义

质量为 m、速率为 v 的物体具有动能 E_k = 1/2 m v²。合力对物体所做的总功等于物体动能的变化，即 W_总 = E_k2 − E_k1。动能只由质量和速率决定，是标量且不为负。

物理意义

动能定理把复杂的受力过程压缩为初末两个状态，特别适合求变力作用或路径复杂但各力做功容易计算的问题。总功为正，动能增加；总功为负，动能减少。它不要求只有一个力做功，也不等于机械能守恒。

符号

公式与校验

推导要点

1. 恒力沿直线推动质量 m 的物体时，W_总 = F s = m a s。
2. 由运动学关系 v₂² − v₁² = 2as，得到 W_总 = 1/2 m v₂² − 1/2 m v₁²。
3. 把只与状态有关的 1/2 mv² 定义为动能，便得到 W_总 = E_k2 − E_k1。
4. 斜面互证中，能量路线直接用 mgh = 1/2 mv²；力学路线先用 F=ma 求 a，再用 v²=2aL，二者末速度必须相同。

常见错误与实测结果

典型例题

质量 2 kg 的物体从静止沿高 1.8 m、长 5 m 的光滑斜面下滑，取 g=10 m/s²。分别用动能定理和牛顿第二定律加运动学求末速度。

1. 能量路线：mgh = 1/2 mv²，约去 m，得 v² = 2gh = 36，所以 v = 6 m/s。
2. 力学路线：斜面正弦值 h/L = 1.8/5 = 0.36，沿斜面加速度 a = g sin(θ) = 3.6 m/s²。
3. 由 v² = 2aL = 2×3.6×5 = 36，仍得 v = 6 m/s。
4. 两条独立路径结果完全一致。

答案末速度为 6 m/s；两种方法一致。

定义

重力做功只由初末高度决定，与路径无关：W_G = mg(h₁−h₂)。选定零势能面后，物体的重力势能 E_p = mgh；重力做功等于重力势能的减少量，即 W_G = E_p1−E_p2。

物理意义

重力势能属于物体与地球组成的系统，并且数值依赖零势能面的选择；但势能差和重力做功不依赖零面的选择。物体下落时重力做正功、势能减少；物体上升时重力做负功、势能增加。

符号

公式与校验

推导要点

1. 竖直方向取向上为正，重力方向向下；物体从 h₁ 到 h₂ 时，重力做功为 mg(h₁−h₂)。
2. 因为这个结果只与初末高度有关，可定义状态量 E_p = mgh。
3. 于是 W_G = mg h₁ − mg h₂ = E_p1 − E_p2 = −Δ E_p。

常见错误与实测结果

典型例题

质量 2 kg 的物体从离地 5 m 处落到离地 2 m 处，取地面为零势能面，g=10 m/s²。求重力做功及势能变化。

1. 重力做功 W_G = mg(h₁−h₂) = 2×10×3 = 60 J。
2. 初势能 E_p1 = 100 J，末势能 E_p2 = 40 J。
3. 势能变化 Δ E_p = E_p2−E_p1 = −60 J，与重力功互为相反数。

答案重力做功 60 J，重力势能减少 60 J。

定义

在弹性限度内，劲度系数为 k 的弹簧形变量为 x 时，弹簧的弹性势能 Ep_s = 1/2 kx²。弹力从形变量 x₁ 变化到 x₂ 的过程中所做的功等于弹性势能的减少量。

物理意义

弹簧弹力会随形变量变化，不能直接拿某一时刻的 kx 乘位移。弹性势能与形变量的平方有关，拉伸和压缩同样大小时势能相同。这里的 x 仍然是相对原长的形变量，而不是弹簧总长。

符号

公式与校验

推导要点

1. 弹簧弹力由 0 随形变量线性增加到 kx，平均弹力为 (0+kx)/2。
2. 把平均弹力乘形变量 x，得到储存的能量 1/2 kx²。
3. 弹簧回弹时弹性势能减少，弹力做正功，因此 W_弹 = Ep_s1−Ep_s2。

常见错误与实测结果

典型例题

劲度系数 200 N/m 的弹簧被拉伸 0.10 m，随后回弹到形变量 0.04 m。求初始弹性势能和回弹过程中弹力做功。

1. 初始弹性势能 Ep_s1 = 1/2×200×0.10² = 1 J。
2. 末态弹性势能 Ep_s2 = 1/2×200×0.04² = 0.16 J。
3. 弹力做功等于势能减少量：1−0.16 = 0.84 J。

答案初始弹性势能 1 J，弹力做功 0.84 J。

定义

物体的动能与势能之和叫机械能。只有重力或系统内弹力做功时，系统机械能守恒，即初状态机械能等于末状态机械能。若有摩擦力等非保守力做功，机械能通常不守恒。

物理意义

机械能守恒不是能量守恒的同义词。能量守恒始终成立；机械能守恒需要条件。判断时应先选系统，再检查是否只有重力或系统内弹力做功，不能只看题目里是否出现摩擦力，也不能因为支持力存在就直接否定——关键是这些力是否对所选系统做功。

符号

公式与校验

推导要点

1. 动能定理给出总功等于动能变化。把重力或弹力做功改写为相应势能的减少量。
2. 若只有这些保守力做功，就有 Δ E_k = −Δ E_p。
3. 移项得到 E_k1+E_p1 = E_k2+E_p2，即机械能在过程中保持不变。

常见错误与实测结果

典型例题

质量 2 kg 的物体从高 1.8 m 处由静止自由下落，忽略空气阻力，g=10 m/s²。用机械能守恒求落地速度。

1. 忽略空气阻力，物体与地球系统只有重力做功，机械能守恒。
2. 取地面为零势能面：mgh = 1/2 mv²。
3. 约去质量，v² = 2gh = 36，所以 v = 6 m/s。
4. 初末机械能均为 36 J。

答案落地速度为 6 m/s。

定义

相对滑动过程中，滑动摩擦把机械能转化为内能。摩擦生热可写为 Q = f s_相对，其中 s_相对 是接触面之间的相对路程。若系统没有从外界获得或向外界放出能量，减少的机械能等于增加的内能。

物理意义

机械能减少并不表示能量消失，而是能量形式发生了转化。计算摩擦生热必须使用相对路程，不一定等于某一个物体对地位移。把系统边界选清楚，是判断外力做功、机械能变化和内能变化的第一步。

符号

公式与校验

推导要点

1. 滑动摩擦力在相对位移上持续作用，转化的能量等于摩擦力大小乘相对路程，即 Q = f s_相对。
2. 对选定系统列能量账：初机械能加外界输入的功，等于末机械能加转化出的内能。
3. 没有外力做功时，E₁−E₂ = Q；机械能减少量有明确去向，并未消失。

常见错误与实测结果

典型例题

木块在粗糙水平面上滑行 4 m，受到 6 N 的滑动摩擦力。初机械能为 50 J，过程中无其他外力做功。求摩擦生热和末机械能。

1. 接触面相对路程为 4 m，摩擦生热 Q = f s_相对 = 6×4 = 24 J。
2. 能量守恒：E₁ = E₂ + Q。
3. 所以 E₂ = 50−24 = 26 J。

答案摩擦生热 24 J，末机械能 26 J。

定义

动量 p=mv；恒力冲量 I=Ft。二者都是矢量，一维计算用正负号表示方向。

物理意义

动量描述物体的运动状态，冲量描述力在一段时间内的累积效果。二者都是矢量，一维计算必须先规定正方向，反向量取负值，不能只比较大小。

符号

公式与校验

推导要点

1. 定义动量 p=mv。
2. 恒力冲量 I=Ft。
3. 二者量纲相同。

常见错误与实测结果

典型例题

2 kg 小车以 3 m/s 运动，4 N 力作用 1.5 s。求动量和冲量。

1. 动量 p=2×3=6。
2. 冲量 I=4×1.5=6。

答案动量 6 kg·m/s，冲量 6 N·s。

定义

合外力的冲量等于动量变化量：I=p₂−p₁。恒力作用时，F平均=(p₂−p₁)/Δt。

物理意义

动量变化等于末动量减初动量，必须保留方向符号。同样的动量变化若延长作用时间，平均力会减小，这正是安全气囊、缓冲垫和屈膝落地的原理。

符号

公式与校验

推导要点

1. 由 F=ma 得 FΔt=mΔv。
2. mΔv=p₂−p₁。
3. 故 I=Δp。

常见错误与实测结果

典型例题

取同一直线正方向，物体动量由3 kg·m/s变为−2 kg·m/s，历时0.25 s，求这段时间合力的冲量和平均合力。

1. 冲量 I=−2−3=−5。
2. 平均力 F=−5/0.25=−20。

答案−5 N·s；−20 N。

定义

合外力冲量为零时，系统总动量不变：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′。

物理意义

守恒的是选定系统的总动量，而不是每个物体各自的动量。内力只在系统内部转移动量；是否守恒取决于合外力冲量是否为零或在过程中可忽略。

符号

公式与校验

推导要点

1. 系统满足 Δp=I外。
2. I外=0 时 Δp=0。
3. 反向速度取负。

常见错误与实测结果

典型例题

两车沿同一直线碰撞，系统合外力冲量可忽略；碰前总动量为+5 kg·m/s，碰后一车动量为+2 kg·m/s，求另一车的有向速度，其质量为1 kg。

1. 另一车末动量为 5−2=3。
2. 速度 v₂′=3/1=3 m/s。

答案3 m/s。

定义

碰撞中系统动量守恒。弹性碰撞还守恒动能；非弹性碰撞动能减少；完全非弹性碰撞后两物体粘连。

物理意义

动量守恒不代表动能守恒。弹性碰撞还守恒总动能；非弹性碰撞的动能减少；完全非弹性碰撞后两物体粘连，动能损失达到最大。减少的动能转化为内能等其他形式。

符号

公式与校验

推导要点

1. 粘连后末速度相同。
2. 弹性碰撞还守恒动能。
3. 损失动能转化为内能。

常见错误与实测结果

典型例题

两辆质量各2 kg的小车沿同一直线运动，碰前速度分别为4 m/s和0，系统合外力冲量可忽略；碰撞后粘连，求共同速度和动能损失。

1. 共同速度 v=8/4=2 m/s。
2. 动能由 16 J 变为 8 J。

答案2 m/s；损失 8 J。

定义

初动量为零且外力冲量可忽略时，两部分向相反方向运动。火箭向后喷气而获得向前推力。

物理意义

反冲不需要空气作支点，火箭在真空中也能飞。火箭与喷出物组成系统，喷出物向后获得动量，火箭便获得大小相抵、方向向前的动量。

符号

公式与校验

推导要点

1. 初动量为零。
2. 由 MV+mv=0 求反冲速度。
3. 单位时间动量变化给出 F=μu。

常见错误与实测结果

典型例题

平台与物体起初均相对地面静止，系统水平合外力冲量可忽略。质量60 kg的平台把2 kg物体向左抛出，物体相对地面速率30 m/s，求平台对地反冲速度。

1. 取向右为正，物体动量为 −60。
2. 60V−60=0，得 V=1 m/s。

答案向右 1 m/s。

定义

由 p=mv 和 Eₖ=mv²/2 得 Eₖ=p²/(2m)，反解得动量大小 p=√(2mEₖ)。

物理意义

动量是矢量并与速度成正比，动能是标量并与速率平方成正比。碰撞题常先用动量守恒求速度，再比较碰撞前后动能来判断碰撞类型。两者不能因单位或数值相近而混用。

符号

公式与校验

推导要点

1. 由 p=mv 得 v=p/m。
2. 代入动能式得 Eₖ=p²/(2m)。
3. 反解得 p=√(2mEₖ)。

常见错误与实测结果

典型例题

2 kg 物体动量为 6 kg·m/s，求动能并反算。

1. 动能 Eₖ=36/4=9 J。
2. 反算 p=√36=6 kg·m/s。

答案9 J；6 kg·m/s。

定义

做圆周运动的物体，线速度大小等于角速度与轨道半径的乘积：v = ωr。匀速圆周运动转一周所用的时间叫周期 T，角速度与周期满足 ω = 2π/T；转速 n 表示单位时间内转过的圈数，并有 n = 1/T。

物理意义

同一刚体绕固定轴转动时，各点角速度相同，但离轴越远的点线速度越大。这里的“匀速”只表示速率不变，速度方向一直在变，所以匀速圆周运动仍然是变速运动。

符号

公式与校验

推导要点

1. 物体转过圆心角 θ 时，沿圆弧走过的路程 s = rθ。
2. 两边同除以时间，得到 s/t = r(θ/t)，即 v = ωr。
3. 转一周的角位移是 2π rad，用时为 T，所以 ω = 2π/T。
4. 一秒转过的圈数是转速 n，因此 n = 1/T，并可得到 ω = 2πn。

常见错误与实测结果

典型例题

转盘以 4 rad/s 的角速度匀速转动，距转轴 2 m 的一点线速度多大？转盘的周期是多少？

1. 线速度 v = ωr = 4×2 = 8 m/s。
2. 周期 T = 2π/ω = 2π/4 = π/2 s，约为 1.57 s。
3. 线速度方向沿圆周切线，虽然大小不变，但方向持续变化。

答案线速度为 8 m/s；周期为 π/2 s，约 1.57 s。

定义

做圆周运动的物体具有始终指向圆心的加速度，叫向心加速度。其大小可写成 a_c = v²/r，也可写成 a_c = ω²r。

物理意义

向心加速度描述速度方向改变的快慢。它不表示物体一定向圆心越跑越近；恰恰是因为它持续把速度方向掰向圆心，轨迹才保持为圆。半径变化时必须先说明保持哪个量不变：保持线速度时半径越大加速度越小，保持角速度时半径越大加速度反而越大。

符号

公式与校验

推导要点

1. 匀速圆周运动中，速度大小不变，但相隔很短时间的两个速度矢量方向不同。
2. 由相似三角形可得速度变化量与转过的弧长成正比，取时间趋近于零，得到 a_c = v²/r。
3. 把上一知识点的 v = ωr 代入，得到 a_c = (ωr)²/r = ω²r。
4. 两式对半径给出相反趋势并不矛盾，因为一个保持 v 不变，另一个保持 ω 不变。

常见错误与实测结果

典型例题

汽车以 12 m/s 的速率通过半径 3 m 的圆弧，求向心加速度。若速率变为原来的 2 倍而半径不变，加速度怎样变化？

1. a_c = v²/r = 12²/3 = 48 m/s²。
2. 速度变为 2 倍，v²变为 4 倍，因此向心加速度变为 192 m/s²。
3. 加速度方向在每一时刻都指向圆心。

答案原向心加速度为 48 m/s²；速度加倍后变为 192 m/s²。

定义

使物体产生向心加速度、方向指向圆心的合力叫向心力。其大小为 F_c = mv²/r，也可写成 F_c = mω²r。向心力不是与重力、弹力并列的新力，而是实际受力沿半径方向的合力。

物理意义

分析圆周运动时应先画重力、支持力、拉力、摩擦力等真实的力，再沿指向圆心的方向列合力方程。不能在真实受力之外额外画一个“向心力”，否则等于把同一作用重复计算。

符号

公式与校验

推导要点

1. 牛顿第二定律给出合力 F_合 = ma。
2. 圆周运动的径向加速度为 a_c = v²/r，因此径向合力 F_c = mv²/r。
3. 再用 v = ωr 替换线速度，可得 F_c = mω²r。
4. 式中的 F_c 是各真实力的径向合力，不是在受力图上额外增加的一种力。

常见错误与实测结果

典型例题

质量 2 kg 的小球用细绳系着，在半径 3 m 的水平圆周上以 6 m/s 的速率运动。求所需的向心力。

1. 径向合力大小 F_c = mv²/r。
2. 代入 F_c = 2×6²/3 = 24 N。
3. 若由绳的拉力单独提供向心力，则绳的拉力为 24 N；若还有其他径向力，应把它们先求合力。

答案所需向心力为 24 N，方向指向圆心。

定义

物体在竖直平面内做圆周运动时，速度和受力通常随位置变化。对细绳或光滑圆轨道内侧模型，在最高点恰好不断绳或不脱离轨道的临界条件是支持力（或拉力）为零，此时 mg = mv²/r，得到 v_min = √(gr)。

物理意义

最高点的“临界”不是速度为零，而是接触力或拉力刚好降到零；重力仍然提供向心力。不同约束模型不能混用：细杆能推也能拉，最高点条件与只能拉不能推的细绳不同。

符号

公式与校验

推导要点

1. 在最高点，圆心在物体下方，重力与轨道支持力都指向圆心。
2. 沿指向圆心方向列牛顿第二定律：mg + N_顶 = mv²/r。
3. 解得 N_顶 = mv²/r − mg。临界状态接触力刚好为零。
4. 令 N_顶 = 0，约去质量 m，得到 v² = gr，即 v_min = √(gr)。

常见错误与实测结果

典型例题

质量 2 kg 的小球沿半径 5 m 的光滑圆轨道内侧运动，取 g = 10 m/s²。求最高点不脱轨的最小速度；若最高点速度为 10 m/s，轨道支持力多大？

1. 临界时支持力为零，mg = mv²/r，所以 v_min = √(gr) = √50 ≈ 7.07 m/s。
2. 速度为 10 m/s 时，mg + N_顶 = mv²/r。
3. N_顶 = 2×10²/5 − 2×10 = 20 N。

答案最小速度约 7.07 m/s；速度为 10 m/s 时支持力为 20 N。

定义

任何两个有质量的物体之间都存在相互吸引力。两个可视为质点的物体，质量分别为 m1、m2，距离为 r 时，引力大小为 F_g = Gm1m2/r²，其中 G 是万有引力常量。

物理意义

距离 r 是两个质点之间的距离；对于质量均匀的球体，可取两球心之间的距离。万有引力遵守平方反比关系：距离变为 2 倍，引力变为原来的 1/4。地表附近的重力，是地球对物体万有引力的近似表现。

符号

公式与校验

推导要点

1. 实验与天文观测表明，引力分别与两个物体质量成正比，与距离平方成反比。
2. 引入比例常量 G，得到 F_g = Gm1m2/r²。
3. 地表附近质量为 m 的物体满足 mg = GMm/r²。
4. 约去物体质量 m，得到 g = GM/r²，说明自由落体加速度与下落物体自身质量无关。

常见错误与实测结果

典型例题

两个质量分别为 1000 kg 和 2000 kg 的物体相距 10 m，取 G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，求它们之间的万有引力。

1. 两物体可视为质点，使用 F_g = Gm1m2/r²。
2. 代入 F_g = 6.67×10⁻¹¹×1000×2000÷10²。
3. 得到 F_g = 1.334×10⁻⁶ N，方向沿两物体连线且相互吸引。

答案万有引力大小为 1.334×10⁻⁶ N。

定义

质量为 m 的卫星绕质量为 M 的中心天体做半径 r 的圆周运动时，万有引力提供向心力，可得轨道速度 v_轨 = √(GM/r)，周期 T_轨 = 2π√(r³/GM)。在地球表面附近的圆轨道速度就是第一宇宙速度，约 7.9 km/s。

物理意义

圆轨道越高，速度越小而周期越长。地球同步卫星的周期与地球自转周期相同；若还要相对地面某点静止，则必须沿赤道上空、与地球自转同向做圆周运动，这种卫星叫地球静止卫星。

符号

公式与校验

推导要点

1. 圆轨道中由万有引力提供向心力：GMm/r² = mv²/r。
2. 约去卫星质量 m 并整理，得到 v_轨 = √(GM/r)，说明轨道速度与卫星自身质量无关。
3. 再用圆周运动周期关系 v = 2πr/T，代入轨道速度。
4. 整理得到 T_轨 = 2π√(r³/GM)，因此轨道半径越大，周期越长。

常见错误与实测结果

典型例题

把地球质量近似取 6.0×10²⁴ kg、半径取 6.4×10⁶ m，求贴近地面的圆轨道速度。取 G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。

1. 万有引力提供向心力，轨道速度 v = √(GM/r)。
2. 代入 v = √(6.67×10⁻¹¹×6.0×10²⁴÷6.4×10⁶)。
3. 得到 v ≈ 7.91×10³ m/s = 7.91 km/s，这就是第一宇宙速度的近似值。

答案近地圆轨道速度约为 7.9 km/s。

定义

开普勒第一定律：行星沿椭圆轨道运动，太阳位于一个焦点。第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。第三定律：对绕同一中心天体运动的天体，轨道周期平方与椭圆半长轴立方之比相同。

物理意义

第二定律意味着行星近日点运动快、远日点运动慢，而不是沿椭圆匀速运动。第三定律比较不同轨道时必须保证中心天体相同；圆轨道只是椭圆轨道的特殊情况，此时半长轴就等于圆轨道半径。

符号

公式与校验

推导要点

1. 很短时间 Δt 内，行星与太阳连线扫过的面积近似为三角形面积 ΔA = rv_tΔt/2。
2. 同除以 Δt，得到面积速度 A_t = rv_t/2；开普勒第二定律说明它沿同一轨道保持不变。
3. 对圆轨道，由万有引力提供向心力可推出 T² = 4π²r³/(GM)。
4. 推广到椭圆轨道时，用半长轴 a 代替圆半径，得到 T = 2π√(a³/GM)，这就是第三定律的引力形式。

常见错误与实测结果

典型例题

某行星绕恒星做椭圆运动。它在近日点和远日点的面积速度是否相同？速度大小如何比较？

1. 按开普勒第二定律，相等时间内扫过面积相等，所以近日点和远日点的面积速度相同。
2. 在近日点，行星到恒星距离较小。为了在相同时间扫过同样面积，它必须运动得更快。
3. 在远日点距离较大，速度较小。因此保持不变的是面积速度，不是线速度大小。

答案两处面积速度相同；近日点速度大于远日点速度。

定义

第一宇宙速度v₁=√(GM地/R地)是近地圆轨道速度；第二宇宙速度v₂=√(2GM地/R地)是忽略其他天体时逃离地球的速率。第三宇宙速度还要利用地球公转，在有利方向发射以逃离太阳系，常用理想估值约16.7 km/s。

物理意义

前两种速度由地球引力和地表初始条件确定。第三种还需太阳质量、日地距离和发射方向：地球公转速率vE=√(GM日/r)，地球轨道处太阳逃逸所需速率为√2vE；沿地球公转方向发射时，相对地球的太阳逃逸余速v∞=(√2−1)vE。忽略行星助推、空气阻力、地球自转和摄动时，地表发射速度v₃=√(v₂²+v∞²)，约16.7 km/s。方向不利时所需发射速度更大。

符号

公式与校验

推导要点

1. 近地圆轨道令万有引力提供向心力，得到v₁=√(GM地/R地)。
2. 从地表到无穷远恰好速度趋零，机械能守恒得到v₂=√(2GM地/R地)=√2v₁。
3. 地球绕太阳圆轨道速率为√(GM日/r)，太阳逃逸速率为其√2倍；沿地球公转方向发射，所需相对地球余速为两者之差。
4. 地表还需提供逃离地球的双曲余速v∞，地球引力能量方程给v₃²=v₂²+v∞²；代入标准参数约16.7 km/s。

常见错误与实测结果

典型例题

取地球质量6.0×10²⁴ kg、半径6.4×10⁶ m，太阳质量1.989×10³⁰ kg、日地距离1.496×10¹¹ m，G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。忽略自转、大气及其他天体，第三宇宙速度按顺地球公转方向逃逸的理想近似，估算三种宇宙速度。

1. v₁=√(GM地/R地)≈7.91 km/s，v₂=√2v₁≈11.18 km/s。
2. 地球公转速率约29.8 km/s，太阳逃逸余速约(√2−1)×29.8≈12.3 km/s。
3. 同向有利发射下v₃≈√(11.18²+12.3²) km/s，约16.7 km/s。

答案第一约7.91 km/s，第二约11.18 km/s，第三约16.7 km/s。

定义

赤道地面物体受到的支持力不是纯万有引力，因为地球自转需要向心加速度。表观重力加速度为 g = g₀-ω²·R；近地圆轨道速度则由纯引力加速度 g₀ 决定。

物理意义

近地卫星、同步卫星和赤道地面物体都有角速度，但轨道半径、周期和所受支持力不同。同步卫星必须在赤道平面、与地球同向且周期等于恒星日，三条件共同固定其高度，不能任意停在城市正上方。近地卫星周期约84分钟仅为忽略大气、按地球参数估算的理想圆轨道结果，并非可贴地飞行。

符号

公式与校验